§2.2.3向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義導(dǎo)學(xué)案
【教學(xué)目標(biāo)】
1. 通過實(shí)例理解并掌握向量數(shù)乘的定義、運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義；
2. 理解向量共線的含義，并能用向量共線的條件解決簡(jiǎn)單幾何問題；
3. 掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算律.
【教學(xué)重難點(diǎn)】
重點(diǎn)：向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義、運(yùn)算律、共線向量定理；
難點(diǎn)：共線向量定理及其應(yīng)用.
【學(xué)習(xí)新知】
合作探究：（預(yù)習(xí)教材P87—P90）
探究1：向量數(shù)乘運(yùn)算與幾何意義
問題1：已知非零向量a，作出圖形：①a+a+a；②-a+(-a)+(-a).
由此可以看出：
a+a+a即3a與向量a的方向相_________，長(zhǎng)度為向量a的_________倍；
-a+(-a)+(-a)即-3a與向量a方向相________，長(zhǎng)度為向量a的_________倍。
小組討論下列思考題：
思考1：通過作出的圖形，能否說出它們的幾何意義？
思考2：實(shí)數(shù)與向量能否進(jìn)行加減運(yùn)算？實(shí)數(shù)與向量相乘的結(jié)果是實(shí)數(shù)還是向量？
思考3：λa與a的大小和方向有什么關(guān)系？
思考4：λa=0的條件是什么？
結(jié)論：向量數(shù)乘的結(jié)果為一個(gè)_________，其模等于這個(gè)實(shí)數(shù)的_________與這個(gè)向量_________的乘積，其方向與_________的正負(fù)有關(guān).
向量數(shù)乘：一般地，我們規(guī)定___________________是一個(gè)向量，這種運(yùn)算稱做向量的數(shù)乘記作___________，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：
（1）長(zhǎng)度：___________=___________________________________;
（2）方向：當(dāng)_________時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)_______時(shí)，λa的方向與a方向相反，當(dāng)_________時(shí)，λa=0.
問題2：向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算. 向量數(shù)乘運(yùn)算律：設(shè)λ,u為實(shí)數(shù)，
（1）
_______； （2）
_________； （3）
_________；
（4）
________=___________； （5）
______________；
（6）對(duì)于任意向量
,
，任意實(shí)數(shù)
恒有
=_______________.
例1. 計(jì)算：
(1)-7*6a(2)4(a+b)-3(a-b)-8a
問題思考：實(shí)數(shù)運(yùn)算中去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中仍適用嗎？
問題3：引入向量數(shù)乘運(yùn)算后，你能發(fā)現(xiàn)數(shù)乘向量與原向量之間有什么位置關(guān)系？
觀察如圖所示內(nèi)容，回答下列問題：
兩個(gè)向量共線（平行）的等價(jià)條件：如果
共線，那么__________________________。
思考5：在向量共線的條件中，若向量a=0，則該定理是否成立？
思考6：根據(jù)向量共線的條件，對(duì)于非零向量a，b，如何確定實(shí)數(shù)λ，使b=λa？
例2. 已知兩個(gè)兩個(gè)向量a和b不共線，AB=a-b，BC=2a-8b，CD=3a+3b，求證：A、B、D三點(diǎn)共線.
例3. 如圖，平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)M，且AB=a，AD=b，你能用a、b表示向量AM、BM、CM、DM嗎？
