據(jù)傳，阿基里斯(Achilles)是古希臘神話中善于行走的神，他走的速度很快，即使是世界上跑得最快的人也沒法與他相比。
古希臘有一位哲學(xué)家叫芝諾(Zeno of Elea)，他的學(xué)生們都對他推崇備至，認(rèn)為他對天下之事無所不知，無所不曉。然而有一天，芝諾在給學(xué)生上課時卻提出了這樣一個斷言：阿基里斯是跑得很快的，可是，若讓他與烏龜一起賽跑，卻永遠不能追上一只慢慢爬行的烏龜。
聽了老師的講話，學(xué)生們個個感到驚奇和意外。阿基里斯與烏龜賽跑，那是輕而易舉就可追上烏龜?shù)?，這是眾所周知的事實，可知識淵博的老師怎么會說出這樣的奇談怪論呢？難道老師連起碼的常識都忘了嗎？學(xué)生們都不解地望著老師，一位學(xué)生終于大膽地提出了存于心中的疑問：“老師，您能告訴我們?yōu)槭裁窗⒒锼棺凡簧蠟觚攩幔?/span>”
芝諾回答道：“這個問題我自己也一直沒能夠解決。”
學(xué)生們更加奇怪了，大家你看看我，我看看你，誰也不明白老師今天上課的用意何在，芝諾也是一副陷入沉思的樣子。
過了許久，芝諾抬起頭來，他終于答應(yīng)把自己的研究了很長時間的問題講述給學(xué)生們。
為了方便起見，我們假設(shè)阿基里斯與烏龜賽跑時阿基里斯的速度是每小時行走10千米，而烏龜?shù)乃俣仁敲啃r爬1千米。比賽是在對雙方都很公平的條件下進行的，并且阿基里斯在烏龜后面10千米。比賽開始時，二者同時出發(fā)，烏龜在前面爬，阿基里斯在后面追。這樣的話，問題就出來了。
1小時以后，當(dāng)阿基里斯走了10千米，到達烏龜原來出發(fā)的位置時，烏龜又爬到前面1千米的地方；
1/10小時以后，阿基里斯追了1千米，烏龜又向前爬了1/10千米；
1/100小時以后，阿基里斯追了1/10千米，烏龜又向前爬了1/100千米；
……
如此下去，阿基里斯與烏龜之間的距離雖然越來越接近，但阿基里斯卻永遠追不上烏龜。
芝諾講到這里，他的學(xué)生們卻個個都愣住了。他們心里都明白老師的說法是錯的，是與常理相悖的，但誰也無法指出他錯在哪里，就連芝諾自己不都說了還在研究嗎？
其實，這是芝諾在作詭辯，這也就是后人所稱的著名的“芝諾悖論”，它的提出促使了人們對無窮小量的研究，甚至引起了一場數(shù)學(xué)觀念上的革命。因為當(dāng)時的數(shù)學(xué)家們認(rèn)為，無限多個很小的量的和必定為無限大。而在芝諾悖論中，芝諾巧妙地鉆了空子，把有限長的線段分成了無限多個很小線段的和，把有限的時間可以完成的運動分成了無限多段很短的時間來完成。后來，人們終于弄清楚，無限多個很小的量的和未必一定是無限大，而可能是有限的。
在上面的芝諾悖論中，用我們現(xiàn)在的根限知識是很容易揭穿這一詭辯的。阿基里斯追烏龜時，走完第一段路程需要1小時，走完第二段路程需1/10小時，走完第三段路程需1/100小時，……，這樣，追上烏龜共需的時間為
1+1/10+1/100+…=1.11…=10/9 (小時)
而這是一個有限數(shù)，說明阿基里斯追上烏龜只需要10/9小時，這對阿基里斯來說自然是很快的了。需要說明的是：利用高中無窮遞縮等比數(shù)列的知識，還可以作嚴(yán)格的推論。
